FAKTORISASI PRIMA (Tinjauan sebelum mempelajari Faktor Prima)

FAKTORISASI PRIMA (Tinjauan sebelum mempelajari Faktor Prima)

Sebelum mempelajari tentang faktor prima maka terlebih dahulu akan dibahas apa itu bilangan Prima, sejarah bilangan prima, bilangan prima semu dan manfat dari bilangan prima.

1.       Pengertian Bilangan prima

Secara umum Bilangan prima sering didefinisikan sebagai bilangan yang memiliki 2 faktor atau dengan kata lain bilangan yang hanya habis dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri. Dari dilihat  perkembangannya, pengertian bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat > 1 yang hanya habis dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri.  Dari beberbagai usaha untuk mengkaji hubungan antara bilangan prima, dikenal pula dengan istilah bilangan prima kembar (twin primes), dimana ini merupakan pasangan bilangan prima yag memenuhi n dan n + 2 untuk n adalah bilangan prima. Contoh : 3 dan 5, 11 dan 13, 29 dan 31, dll.

2.       Sejarah dan perkembangan bilangan prima

Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d’Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Tulang Ishango memiliki 3 baris takik. Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik, yang merupakan bilangan-bilangan prima antara 10 hingga 20. Meskipun sedikit sekali manfaat yang diketahui, namun di awal masehi orang tetap mencari dan membuktikan bahwa suatu bilangan merupakan bilangan prima.

Pada tahun 325 SM, Euclid membuktikan bahwa bilangan prima memiliki jumlah yang tidak terbatas. Euclid juga membuktikan teorema dasar aritmatika. Di dalam teori bilangan, teori dasar arimatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari satu dapat dituliskan sebagai perkalian unik dari bilangan prima, misalnya 6936 = 2³ x 3¹ x 17²  ; 1200= 2⁴ x 3¹ x 5²  adalah dua contoh bilangan yang memenuhi teorema bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan prima.

Salah satu cara menemukan seluruh bilangan prima yang kurang dari suatu bilangan bulat yang diberikan adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes. Jika semua bilangan asli lebih besar 1 ditempatkan pada suatu “saringan” maka bilangan yang bukan bilangan prima diberi tanda silang (artinya jatuh melalui lobang saringan). Bilangan-bilangan yang tersisa adalah bilangan-bilangan prima. Dengan kata lain, misalkan kita mengambil bilangan yang kurang dari 10⁷ , maka hal yan harus dilakukan adalah dengan mendaftar semua bilangan bulat antara 2 hingga n. Hapuslah semua bilangan kelipatan bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan  , maka bilangan yang masih tersisa adalah bilangan prima.

Untuk lebih jelasnya, berikut adalah langkah-langkah saringan Eratosthenes

1)      Pada tabel dibawah, kita beri tnada silang bilangan 1 karena 1 bukan bilangan prima.

2)      Lingkari bilangan 2 karena 2 bilangan prima.

3)      Silang bilangan-bilangan kelipatan 2 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima.

4)      Lingkari bilangan 3 karena 3 bilangan prima.

5)      Silang bilangan-bilangan kelipatan 2 karena bilangan-bilangan itu bukan bilangan prima.

6)      Lingkari bilangan 5 dan 7 ; silang bilangan-bilangan kelipatannya.

Pada tabe tersebut, kita berhenti pada langkah 6 karena 7 adalah bilangan prima terbesar yang kurang dari 100. Semua bilangan tersisa yang didaftar dan tidak disilang adalah bilangan-bilangan prima.

Tabel 1. Saringan Eratosthenes

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Pencarian dengan menggunakan saringan Eratosthenes ini sangatlah mudah, cepat, dan sederhana. Akan tetapi untuk keperluan enkripsi yang membutuhkan bilangan prima yang besar, metode ini belumlah memadai.

Sebelum komputer ditemukan, perkembangan penemuan bilagan prima masih lambat karena orang belum merasakan manfaat dari bilangan prima. Berikut ini adalah tabel 2 daftar penemu bilangan prima sebelum era komputer. Meskipun sederhana, tabel berikut menolong ahli matematika lain untuk pertama kali menebak teorema bilangan prima

Tabel 2. Daftar penemu bilangan prima sebelum era komputer

Tahun	Penemu	Jumlah Digit
1588	Cataldi	6
1772	Euler	10
1883	Pervushin	19
1911	Powers	27
1914	Powers	33

Semua bilangan prima > 2 jelas merupakan bilangan ganjil sehingga ppada jaman dahulu orang percaya bahwa untuk suatu bilangan prima n, maka 2^n – 1 juga merupakan bilangan prima. Namun pada tahun 1536, Regius membuktikan bahwa 2^11 – 1 = 2047 bukanlah bilangan prima karena 2047 = 23 x 89.

Mersene (1588 – 1648) menemukan bahwa bilangan  2^n-1 merupakan bilangan prima hanya untuk n = 2, 3,5,7,13, 17, 19, 31, 67, 127, dan 257. Namun akhirnya terbukti bahwa apa yang ditemukan Mersenne ini salah, tapi bentuk  2^n-1 (yang kemudian dikenal dengan bilangan Mersenne) tetap menarik banyak perhatian. Pertanyaan yang harus dijawab adalah : Pada kondisi apakah bilangan Mersenne Mn =  2^n-1  merupakan bilangan prima? Lukas menemukan syarat perlu dan cukupnya pada tahun 1870 dan Lehmer mengujinya pada tahun 1930. Uji Lucas – Lehmer : untuk bilangan ganjil n,bilangan Mersenne  2^n-1 adalah bilangan prima jika dan hanya jika  2^n-1|s(n-1) dengan  s(n+1) = (s(n))^2 – 2 dan S(1) = 4.

Dengan bantuan komputer, pengujian bilangan prima yang besar dengan uji Lucas-Lehner menjadi semakin nudah sehingga bilangan-bilangan prima besar ditemukan seperti pada tabel 3 berikut

Tabel 3. Daftar penemu bilangan prima sesudah era komputer

Tahun	Penemu	n	Jumlah Digit dalam Mn
1952	Robinson	521	157
1952	Robinson	607	183
1952	Robinson	1279	386
1952	Robinson	2203	664
1952	Robinson	2281	687
1961	Hurwitz	4253	1281
1961	Hurwitz	4423	1332
1963	Gillies	9689	2917
1963	Gillies	9941	2993
1963	Gillies	11213	3376
1971	Tuckerman	19937	6002
1978	Noll & Nickel	21701	6533
1979	Noll	23209	6987
1979	Nelson &Slowinski	44497	13395
1982	Slowinski	132049	39751
1988	Colquitt & Welsh	110503	33265
1983	Slowinski	86243	25962
1985	Slowinski	216091	65050
1992	Slowinski & Gage	756839	227832
1994	Slowinski & Gage	859433	258716
1996	Slowinski & Gage	1257787	378632
1996	Armengaud, Woltman, et al	1398269	420921
1997	Spence, Woltman, et al	2976221	895932
1998	Clarkson, Woltman, Kurowski, et	6972593	2098960

3. Bilangan Prima Semu

Bilangan prima semu (pseudo prime) adalah blangan yang “mendekati” prima. Bilangan semu ini didapatkan dari teorema Little Fermat sebagai berikut :

Jika p adalah bilangan prima dan a adalah sembarang bilangan bulat, maka a^p = a(mod p)  Secara khusus, jika a bukan faktor p, maka a^(p-1) = 1(mod p)

Teorema Litle Fermat ini memberikan pengujian yang baik untuk menentukan ketidakprimaan yaitu dengan memberikan bilangan bulan n > 1, maka dapat dipilih a > 1 kemudian a^(p-1) = 1(mod p) hitung jika hasilnya  bukan 1, maka n bukan bilangan prima. Sebaliknya, jika hasilnya = 1, maka n “mungkin” bilangan prima sehingga n disebut bilangan prima semu basis a.

Contohnya, untuk a = 2 dan n = 341, maka 2^(341-1)(mod 341) = (2^10)^34 (mod 341) = (2^10 mod 341)^34 = 1^34 mod 341 = 1 . Akan tetapi 341 bukan bilangan prima karena 341 = 11×31, sehingga 341 adalah bilangan prima semu basis 2.

Dari sebuah bilangan yang kuran dari  25 x 10^9  terdapat lebih dari 10^9 buah bilangan prima, akan tetapu hanya ada 21.853 buah bilangan prima semu basis 2. Hal ini berarti bahwa presentase bilangan prima semu jauh lebih sedikit dari bilangan prima.

4. Manfaat Bilangan Prima

Dewasa ini bilangan prima menjadi amat penting pada proses pengkodean dengan komputer. Salah satu tekniknya yang dikenal dengan enkripsi. Enkripsi adalah suatu proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut. Aplikasi dari bilangan prima ini digunakan untuk kode-kode rahasa pada kartu ATM suatu bank, brankas, dll.

5. Masalah menarik dalam bilangan prima

Ada beberapa masalah menarik yang berkaitan dengan bilangan prima. Diantaranya yang dikemukakan Christian Godlbach (1890 – 1764), dia mengatakan bahwa bilangan bulat genap yang lebiih besar dari 2 merupakan jumlah dari dua bilangan prima. Hal ini yang dikenal dengan nama conjecture Goldbach. Sebagai contoh 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 +7, dan 14 = 3 + 11.

Walaupun konjektur Goldbach bisa dianggap benar, tetap saja tidak ada bukti yang bisa menyatakan kebenaran dari konjektur tersebut. Karena itu banyak matematikawan yang berusaha untuk membuktikan bahwa konjektur tersebut salah, dengan cara mencari bilangan yang tidak memenuhi konjektur tersebut. Akan tetapi banyak pula matematikawan yang berusaha untuk membuktikan bahwa konjektur tersebut benar.

Seiring perkembangan teknologi komputer, jumlah bilangan Goldbach pun meningkat secara pesat. Tercatat pada tahun 1998, batas bilangan Goldbach sudah mencapai 10¹⁸. Tentunya ini merupakan sebuah angka yang luar biasa besar. Walaupun begitu, tetap saja masih belum ditemukan sebuah bilangan pun yang tidak mengikuti konjektur Goldbach.

Permasalahan lain yang ada dalam bilangan prima adalah sebagai berikut :

“Seorang wanita mengemukakan bahwa jika ia mengambil telur dari keranjang itu 2, 3, 4, 5, atau 6 selalu ada 1 yang tersisa. Tetapi jika ia mengambil 7 telur maka tidak ada yang tersisa. Jika keranjang itu dapat memuat sampai dengan 500 butir telur, berapa butir telur yang ia punya?”

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut kita harus memahami bahwa Jika wanita itu mengambil telur dari dalam keranjang 2, 3, 4, 5, atau 6 maka 1 tersisa. Maksudnya adalah bahwa jika banyaknya telur dibagi oleh 2, 3, 4, 5, atau 6, sisanya 1. Kita juga mengetahui bahwa jika ia mengambil 7 maka tidak ada sisa. Hal ini berarti banyaknya telur adalah kelipatan 7. Akhirnya kita mengetahui bahwa keranjang itu dapat memuat sampai 500 butir telur. Kita harus menemukan banyaknya telur di dalam keranjang.

Suatu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah mendaftar semua kelipatan 7 antara 7 dan 500 kemudian memeriksa mana dari bilangan-bilangan itu yang mempunyai sisa 1 jika dibagi oleh 2, 3, 4, 5, atau 6. Cara lain adalah kita menggunakan “pendekatan sisa”. Misalkan banyaknya telur adalah n. Jika n dibagi oleh 2 sisanya adalah 1. Hal ini berakibat (n – 1) akan dapat dibagi oleh 2. Begitu pula 3, 4, 5, dan 6 juga dapat dibagi oleh (n – 1).

Karena 2 dan 3 membagi n – 1, bilangan 2 dan 3 muncul di dalam faktorisasi prima dari (n – 1). Kita tahu bahwa 4|(n-1) mengakibatkan 2|(n-1). Sehingga dari informasi 4|(n-1) dan 2|(n-1), kita dapat simpulkan bahwa  2^2 muncul di dalam faktorisasi prima (n – 1). Karena 5|(n-1), 5 muncul di dalam faktorisasi prima (n – 1). 6|(n-1) tidak menyediakan informasi baru karena 2 dan 3 adalah faktor prima dari (n – 1) telah kita dapatkan. Sekarang, (n – 1) dapat juga mempunyai faktor – faktor prima lain. Lambangkan hasil kali faktor – faktor prima lain ini dengan k, kita mempunyai n – 1 = 2&2.3.5.k = 60k, di mana k adalah suatu bilangan asli, dan demikan n = 60k + 1. Sekarang kita menemukan semua kemungkinan nilai untuk n di dalam bentuk 60k + 1 lebih kecil dari 500 dan menentukan bilangan yang mana yang dapat dibagi oleh 7.

Karena n = 60k + 1 dan k adalah bilangan asli sebarang, kita substitusikan k = 1, 2, 3, … ke dalam n = 60k + 1. Dari substitusi itu itu kita perolweh nilai-nilai n yang lebih kecil dari 500, yaitu 61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, 481. Diantara nilai-nilai ini, hanya 301 yang dapat dibagi oleh 7. Dengan demikian 301 adalah jawaban atas masalah di atas.

6. Faktorisasi Prima

Faktorisasi prima adalah suatu teknik pembentuk bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktor-faktornya merupakan bilangan prima. Untuk menentukan suatu faktorisasi prima dari suatu bilangan yang diberikan, pertama-tama kita harus menuliskan kembali bilangan itu sebagai bilangan – bilangan yang lebih kecil. Kemudian, faktorkan kedua bilangan tersebut sampai seluruh faktor-faktornya adalah bilangan prima. Perhatikan contoh berikut :

350 = 35 . 10 = 7 . 5 . 5. 2 = 7 .  . 2

Prosedur menumukan faktorisasi prima dari suatu bilangan dapat juga menggunakan pohon faktor   dan tabel.

Dari pencarian suatu faktorisasi prima dapat kita beberapa sifat khusus dari bilangan prima antara lain

1) Setiap bilangan komposit dapat ditulis sebagai suatu perkalian bilangan prima dalam satu danhanya satu cara.

Sifat 1 di atas dikenal pula sebagai teorema dasar aritmatika. Teorema ini merupakan dasar (pendekatan algoritmik) untuk menemukan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Sebagai contoh, Perhatikan bilangan 260. Kita mulai dari bilangan prima terkecil, 2, dan kita periksa apakah 2 adalah pembagi itu, jika tidak maka kita coba dengan bilangan prima yang lebih besar berikutnya dan periksa keterbagiannya oleh bilangan prima ini. Sekali kita dapat menemukan bilangan prima yang dapat membagi suatu bilangan bulat yang diberikan, kita harus menemukan hasil bagi bilangan bulat yang diberikan oleh suatu bilangan prima itu. Selanjutnya kita periksa apakah bilangat prima itu dapat membagi bilangan yang merupakan hasil bagi itu. Jika demikian, kita ulang proses itu; jika tidak kita coba dengan bilangan prima yang lebih besar berikutnya, 3, dan periksa apa 3 membagi hasil bagi itu. Kita tahu bahwa 260 dibagi oleh 2 hasilnya 130. Kita lanjutkan prosedur ini, 130 dibagi oleh 2 hasilnya 65. Dengan bilangan prima berikutnya yang lebih besar dari 2 yang dapat membagi 65, yaitu 5, diperoleh 65 dibagi oleh 5 hasilnya 13..

Bilangan-bilangan prima di dalam faktorisasi prima suatu bilangan disajikan dalam daftar dengan urutan naik dari kiri ke kanan dan jika suatu bilangan prima muncul dalam suatu hasil kali lebih dari satu kali maka digunakan notasi pangkat. Dengan demikian, faktorisasi prima dari 260 ditulis sebagai 2^2 . 5 . 13.

Perhatikan bilangan 8. Bilangan 8 mempunyai pembagi 1, 2, 4, dan 8. Faktorisasi prima dari 8 adalah 23. Pembagi-pembagi ini dapat ditulis dalam bentuk bilangan pangkat dari 2: 20, 21, 22, dan 23. Kita dapat menggeneralisasi untuk sebarang bilangan prima p mempunyai pembagi-pembagi dalam bentuk bilangan berpangkat sebagai berikut:

Pembagi-pembagi p^n  adalah p^0, p^1, p^2, …, p^n
Sebagaimana kita lihat, ada n + 1 pembagi dari p^n

Untuk bilangan seperti 24 yang mempunyai faktorisasi prima 2^3.3^1 , kita tahu bahwa  2^3 dan 3^1 adalah pembagi-pembagi 24. Kita juga tahu bahwa 4 . 2 atau 8 adalah pembagi 24.

Proses penentuan banyaknya pembagi diatas dapat digeneralisasikann dalam sifat selanjutnya yakni :

2) Jika faktorisasi prima suatu bilangan n adalah n = p1^q1 . p2^q2 . p3^q3 … pm^qm,  maka banyaknya pembagi n adalah (q1 + 1) (q2 + 2) (q3 + 1) … (qm + 1) 

 Contoh 1 :

• Tentukan semua pembagi dari 912
• Tentukan semua pembagi dari 324

Jawab :

• Faktorisasi prima dari 912 adalah  2^4. 3 . 19. Ada 5 . 2 . 2 atau 20 pembagi. Pembagi – pembagi 2^4 adalah 1, 2, 4, 8, dan 16. Pembagi-pembagi 3 adalah 1 dan 3. Pembagi-pembagi 19 adalah 1 dan 19. Dengan demikian, pembagi-pembagi 912 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 19, 38, 76, 152, 304, 57, 114, 228, 456, dan 912.
• Faktorisasi prima dari 324 adalah 2^2 . 3^4; dan ada 15 pembagi. Pembagi-pembagi 2^2 adalah 1, 2, dan 4. Pembagi-pembagi 3^4 adalah 1, 3, 9, 27, dan 81. Dengan demikian, pembagi-pembagi 324 adalah 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 81, 162, dan 324.

Dalam menentukan faktorisasi dari suatu bilangan seperti 8127, amati bahwa 9 membagi 8127, atau 8127 = 9k, di mana k adalah suatu bilangan bulat. Karena 8127 = 9k, k adalah suatu faktor dari 8127 dak k = 8127 / 9. Masalah ini secara umum dituangkan dalam sifat berikut ini

3) Misalkan d  0 dan n  0. Jika d adalah faktor dari n maka n/d adalah faktor dari n.
Misalkan p adalah faktor prima terkecil dari bilangan n. Dengan menggunakan sifat 3, n/p adalah suatu faktor dari n, dan karena p adalah faktor terkecil dari n, kita peroleh p =< n/p. Jika p =< n/p maka  p^2 =< n. Gagasan ini selanjutnya dirangkum menjadi sifat berikut ini.

4) Jika n adalah suatu bilangan komposit maka n mempunyai suatu faktor prima p sedemikian sehingga p^2 =< n.

Sifat 4 ini dapat digunakan untuk membantu menentukan apakah suatu bilangan yang diberikan itu termasuk bilangan prima atau bilangan komposit. Sebagai contoh, perhatikan bilangan 109. Jika 109 adalah bilangan komposit maka 109 harus mempunyai suatu faktor prima p sedemikian sehingga p^2 =< 109. Bilangan-bilangan prima yang dikuadratkan tidak melewati 109 adalah 2, 3, 5, dan 7. Kita tahu bahwa 2, 3, 5, dan 7 masing-masing bukan merupakan faktor dari 109. Dengan demikian 109 adalah bilangan prima. Argumen ini membawa kia pada sifat berikut.

5) Jika n adalah suatu bilangan bulat lebih besar dari 1 dan tidak dapat dibagi oleh sebarang bilangan prima p maka n adalah bilangan prima.

Contoh :
Periksalah apakah 397 adalah bilangan prima atau komposit
Jawab :

Bilangan-bilangan prima p yang mengakibatkan   p^2 =<  397 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan 19. Karena adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dan 19 masing-masing bukan merupakan faktor dari 397 (silahkan periksa !), disimpulkan bahwa 397 adalah bilangan prima.

7. Kelipapatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan. Ada beberapa cara mencari KPK antara lain :
1)      Menggunakan Himounan Kelipatan Persekutuan
Contoh :

• Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12

Kelipatan 8  =  {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}
Kelipatan 12  =  {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}
Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12  =  { 24, 48, …}
Jadi KPK dari 8 dan 12 adalah 24

• Tentukan KPK dari 15 dan 20

Kelipatan 15 =  {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}
Kelipatan 20 =  {20, 40, 60, 80, 100,120, …}
Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20  =  {60, 120, ….}
Jadi KPK dari 15 dan 20 adalah 60

• Tentukan Kelipatan 15  =  {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

Kelipatan 20 =  {20, 40, 60, 80, 100,120, …}
Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20  =  {60, 120, ….}
Jadi KPK dari 15 dan 20 adalah  60
2)      Menggunakan Pohon Faktor
Untuk mencari KPK dengan menggunakan pohon faktor dibutuhkan langkah-langkah berikut :

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Kalikan semua faktorisasi prima
• Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan pangkat yang tertinggi.

3)      Menggunakan Tabel
Untuk mencari KPK dari beberapa bilangan dengan menggunakan tabel pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel untuk mencari faktoriasi prima dari bilangan yang akan cari KPK-nya, kemudian kalikan semua faktor primanya.
8.  Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan. Dalam mencari FPB dari beberapa bilangan ada beberapa cara antara lain

1)      Menggunakan Himpunan Faktor Pesekutuan
Contoh :

• Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24

Faktor 18          =  {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24          =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 =  { 1, 2, 3, 6}
Jadi FPB dari 18 dan 24 adalah  6

• Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120

Faktor 75 =  {1, 3, 5, 15, 25, 75}
Faktor 120 =  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Faktor persekutuan dari 75 dan 120  =  {1, 3, 4, 15}
Jadi FPB dari 75 dan 120  adalah  15

• Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72

Faktor 36             =  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Faktor 48             =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}
Faktor 72             =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}
Faktor persekutuan dari 36 dan 48  =  {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Jadi FPB dari 36, 48, dan 72 adalah   12
2)      Menggunakan Pohon Faktor
Ikutilah langkah-langkah berikut untuk mencari FPB dari beberapa bilangan :

• Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya.
• Tulis faktorisasi primanya.
• Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima.
• Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima dengan pangkat yang terendah.

3)      Menggunakan Tabel

Untuk mecari FPB dari beberapa bilangan  dengan menggunakan tabel, langkah pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya. Kemudian berilah tanda faktor prima yang sama.

Sumber :

Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy, Springer-Verlag, New York.

Chris, C. K.(2003). The Largest Known Prime by Year A Brief History.http://www.utm.edu/research/primes/largest.html. Akses, 25 november 2012.

Canjorin, F. (1924). A History of Elementary Mathematics with Hints on Methods of Teaching. London: The Macmillan Company.

Evans, P.J. (1970). Mathematics Creation and Study of Form California:Addison Wesley.

Eves, H.(1964).An Introduction to the History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart and winston.

Naga, S.D.(1980). Berhitung Sejarah dan Perkembangannya. Jakarta: PT Gramedia

O’Connor, J.J. and Robertson, E.F.(2001).Prime Number. http://www-history.mcs.st-andrew.ac.uk/ history/Hist Topis/prime_numbers.html. Akses, 25 September 2003.

Sitorus, J.(1990). Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung: Tarsito

Victor, K. J. (1998).A History of Mathematics an Introduction.California: Addison Wesley.